ஒரு சமன்பாடு என்பது இரண்டு வெளிப்பாடுகளுக்கு இடையில் இருக்கும் கணித சமத்துவம் ஆகும், இது கணித எண் செயல்பாடுகள் மூலம் தொடர்புடைய அறியப்பட்ட (தரவு) மற்றும் அறியப்படாத (அறியப்படாத) வெவ்வேறு கூறுகளால் ஆனது. தரவு பொதுவாக குணகங்கள், மாறிகள், எண்கள் மற்றும் மாறிலிகளால் குறிக்கப்படுகிறது, அறியப்படாதவை எழுத்துக்களால் குறிக்கப்படுகின்றன மற்றும் சமன்பாட்டின் மூலம் நீங்கள் புரிந்துகொள்ள விரும்பும் மதிப்பைக் குறிக்கும். சமன்பாடுகள் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, முக்கியமாக கணித அல்லது இயற்பியல் விதிகளின் மிகத் துல்லியமான வடிவங்களைக் காட்ட, அவை மாறிகளை வெளிப்படுத்துகின்றன.
சமன்பாடு என்றால் என்ன
பொருளடக்கம்
இந்த சொல் லத்தீன் "சமநிலை" என்பதிலிருந்து வந்தது, இதன் பொருள் சமன்பாட்டைக் குறிக்கிறது. இந்த பயிற்சி இரண்டு வெளிப்பாடுகளுக்கு இடையில் இருக்கும் ஒரு கணித சமத்துவமாகும், இவை உறுப்பினர்கள் என அழைக்கப்படுகின்றன, ஆனால் அவை ஒரு அடையாளத்தால் (=) பிரிக்கப்படுகின்றன, இவற்றில், அறியப்பட்ட கூறுகள் மற்றும் கணித செயல்பாடுகள் மூலம் தொடர்புடைய சில தரவு அல்லது அறியப்படாதவை உள்ளன. மதிப்புகள் எண்கள், மாறிலிகள் அல்லது குணகங்களாகும், இருப்பினும் அவை திசையன்கள் அல்லது மாறிகள் போன்ற பொருள்களாக இருக்கலாம்.
உறுப்புகள் அல்லது அறியப்படாதவை மற்ற சமன்பாடுகளின் மூலம் நிறுவப்பட்டுள்ளன, ஆனால் ஒரு சமன்பாடு தீர்க்கும் செயல்முறையுடன். சமன்பாடுகளின் அமைப்பு வெவ்வேறு முறைகளால் ஆய்வு செய்யப்பட்டு தீர்க்கப்படுகிறது, உண்மையில், சுற்றளவு சமன்பாட்டிலும் இது நிகழ்கிறது.
சமன்பாடுகளின் வரலாறு
எகிப்திய நாகரிகம் கணிதத் தரவைப் பயன்படுத்தியவர்களில் முதன்மையானது, ஏனென்றால் 16 ஆம் நூற்றாண்டில் அவர்கள் ஏற்கனவே இந்த முறையைப் பயன்படுத்தினர், உணவு விநியோகத்துடன் தொடர்புடைய சிக்கல்களைத் தீர்க்க, அவை சமன்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படவில்லை என்றாலும், இது தற்போதைய நேரத்திற்கு சமம் என்று கூறலாம்.
சீனர்களுக்கும் இத்தகைய கணித தீர்வுகள் பற்றிய அறிவு இருந்தது, ஏனென்றால் சகாப்தத்தின் தொடக்கத்தில் அவர்கள் ஒரு புத்தகத்தை எழுதினர், அங்கு இரண்டாம் மற்றும் முதல் தர பயிற்சிகளை தீர்க்க பல்வேறு முறைகள் முன்மொழியப்பட்டன.
இடைக்காலத்தில், கணித அறியப்படாதவர்கள் ஒரு பெரிய ஊக்கத்தைக் கொண்டிருந்தனர், ஏனெனில் அவை அந்தக் கால நிபுணத்துவ கணிதவியலாளர்களிடையே பொது சவால்களாகப் பயன்படுத்தப்பட்டன. 16 ஆம் நூற்றாண்டில், இரண்டு முக்கியமான கணிதவியலாளர்கள் இரண்டாவது, மூன்றாவது மற்றும் நான்காவது டிகிரி தரவைத் தீர்க்க கற்பனை எண்களைப் பயன்படுத்துவதை கண்டுபிடித்தனர்.
அந்த நூற்றாண்டில் ரெனே டெஸ்கார்ட்ஸ் விஞ்ஞான குறியீட்டை பிரபலமாக்கியது, இது தவிர, இந்த வரலாற்று கட்டத்தில் கணிதத்தின் மிகவும் பிரபலமான கோட்பாடுகளில் ஒன்று பகிரங்கமாக "ஃபெர்மட்டின் கடைசி தேற்றம்" செய்யப்பட்டது.
பதினேழாம் நூற்றாண்டில் விஞ்ஞானிகள் கோட்ஃபிரைட் லீப்னிஸ் மற்றும் ஐசக் நியூட்டன் வேறுபட்ட அறியப்படாதவற்றின் தீர்வை சாத்தியமாக்கினர், இது இந்த குறிப்பிட்ட சமன்பாடுகள் தொடர்பாக அந்த நேரத்தில் நிகழ்ந்த தொடர்ச்சியான கண்டுபிடிப்புகளுக்கு வழிவகுத்தது.
ஐந்தாவது பட்டத்தின் சமன்பாடுகளுக்கு தீர்வு காண 19 ஆம் நூற்றாண்டின் ஆரம்பம் வரை கணிதவியலாளர்கள் மேற்கொண்ட முயற்சிகள் பல, ஆனால் அனைத்தும் தோல்வியுற்ற முயற்சிகள், ஐந்தாவது பட்டத்தை கணக்கிடுவதற்கு பொதுவான சூத்திரம் இல்லை என்பதை நீல்ஸ் ஹென்ரிக் ஆபெல் கண்டுபிடிக்கும் வரை, இந்த நேரத்தில் இயற்பியல் ஒருங்கிணைந்த மற்றும் பெறப்பட்ட அறியப்படாதவற்றில் வேறுபட்ட தரவைப் பயன்படுத்தியது, இது கணித இயற்பியலுக்கு வழிவகுத்தது.
20 ஆம் நூற்றாண்டில், குவாண்டம் இயக்கவியலில் பயன்படுத்தப்படும் சிக்கலான செயல்பாடுகளுடன் முதல் வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் வகுக்கப்பட்டன, அவை பொருளாதாரக் கோட்பாட்டில் பரந்த ஆய்வுக் களத்தைக் கொண்டுள்ளன.
குவாண்டம் இயக்கவியலில் சார்பியல் அலைகளின் ஆய்வின் ஒரு பகுதியான 1928 இல் பால் டிராக் வடிவமைத்த டிராக் சமன்பாட்டிற்கும் குறிப்பு குறிப்பிடப்பட வேண்டும். டிராக் சமன்பாடு சிறப்பு சார்பியல் கோட்பாட்டுடன் முழுமையாக ஒத்துப்போகிறது.
சமன்பாடு பண்புகள்
இந்த பயிற்சிகள் குறிப்பிட்ட பண்புகள் அல்லது கூறுகளின் வரிசையையும் கொண்டிருக்கின்றன, அவற்றில், உறுப்பினர்கள், விதிமுறைகள், அறியப்படாதவை மற்றும் தீர்வுகள். உறுப்பினர்கள் சமமான அறிகுறிகளுக்கு அடுத்ததாக இருக்கும் வெளிப்பாடுகள். விதிமுறைகள் உறுப்பினர்களின் ஒரு பகுதியாகும், அதேபோல், அறியப்படாதவை கடிதங்களையும் இறுதியாக தீர்வுகளையும் குறிக்கின்றன, அவை சமத்துவத்தை சரிபார்க்கும் மதிப்புகளைக் குறிக்கின்றன.
சமன்பாடுகளின் வகைகள்
கல்வியின் வெவ்வேறு நிலைகளில் கற்பிக்கப்பட்ட பல்வேறு வகையான கணித பயிற்சிகள் உள்ளன, எடுத்துக்காட்டாக, கோட்டின் சமன்பாடு, வேதியியல் சமன்பாடு, சமன்பாடுகளின் சமநிலை அல்லது வெவ்வேறு சமன்பாடுகள், இருப்பினும், இவை வகைப்படுத்தப்பட்டுள்ளன என்பதைக் குறிப்பிடுவது முக்கியம் இயற்கணித தரவு, இது முதல், இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாம் பட்டம், டையோபாண்டின் மற்றும் பகுத்தறிவு ஆகியவற்றைக் கொண்டிருக்கும்.
இயற்கணித சமன்பாடுகள்
இது பி (எக்ஸ்) = 0 வடிவத்தில் வெளிப்படுத்தப்படும் ஒரு மதிப்பீடாகும், இதில் பி (எக்ஸ்) என்பது ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையாகும், இது பூஜ்யமானது அல்ல, ஆனால் நிலையானது அல்ல, இது ஒரு பட்டம் n ≥ 2 உடன் முழு எண் குணகங்களைக் கொண்டுள்ளது.
- நேரியல்: இது ஒரு சமத்துவம், இது முதல் சக்தியில் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட மாறிகளைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் இந்த மாறிகளுக்கு இடையில் தயாரிப்புகள் தேவையில்லை.
- இருபடி: இது ஒரு ax 0 கொண்ட அச்சு + bx + c = 0 இன் வெளிப்பாட்டைக் கொண்டுள்ளது. இங்கே மாறி x, ya, b மற்றும் c மாறிலிகள், இருபடி குணகம் a, இது 0 இலிருந்து வேறுபட்டது. நேரியல் குணகம் b மற்றும் கால சுயாதீனமானது சி.
இது ஒரு பல்லுறுப்புறுப்பால் வகைப்படுத்தப்படுகிறது, இது பரவளையத்தின் சமன்பாட்டின் மூலம் விளக்கப்படுகிறது.
- கியூபிக்: அறியப்படாத கன தரவு மூன்றாம், a, b, c மற்றும் d (a ≠ 0) உடன் பிரதிபலிக்கிறது, அதன் எண்கள் உண்மையான அல்லது சிக்கலான எண்களின் உடலின் ஒரு பகுதியாகும், இருப்பினும் அவை பகுத்தறிவு இலக்கங்களையும் குறிக்கின்றன.
- இருதரப்பு: இது ஒற்றை மாறி, நான்காவது டிகிரி இயற்கணித வெளிப்பாடு ஆகும், இது மூன்று சொற்களை மட்டுமே கொண்டுள்ளது: டிகிரி 4 இல் ஒன்று, டிகிரி 2 இல் ஒன்று மற்றும் ஒரு சுயாதீனமான சொல். ஒரு பிகாட் உடற்பயிற்சியின் எடுத்துக்காட்டு பின்வருமாறு: 3x ^ 4 - 5x ^ 2 + 1 = 0.
இது ஒரு தீர்மான மூலோபாயத்தை வரையறுக்க முக்கிய கருத்தாக இருக்கும் என்பதை வெளிப்படுத்த முயற்சிப்பதால் இது இந்த பெயரைப் பெறுகிறது: இரு சதுரம் என்றால்: "இரண்டு முறை இருபடி." நீங்கள் இதைப் பற்றி சிந்தித்தால், x4 என்ற சொல்லை (x 2) 2 ஆக உயர்த்தலாம், இது எங்களுக்கு x4 ஐ வழங்குகிறது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், அறியப்படாதவற்றின் முக்கிய சொல் 3 × 4 என்று கற்பனை செய்து பாருங்கள். இதேபோல், இந்த வார்த்தையை 3 (x2) 2 என்றும் எழுதலாம் என்று சொல்வது சரியானது.
- டியோபாந்தைன்ஸ்: இது ஒரு இயற்கணித பயிற்சியாகும், இது இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட அறியப்படாதவற்றைக் கொண்டுள்ளது, கூடுதலாக, அதன் குணகங்கள் இயற்கை அல்லது முழு தீர்வுகளைத் தேட வேண்டிய அனைத்து முழு எண்களையும் உள்ளடக்கியது. இது அவர்களை முழு எண் குழுவின் ஒரு பகுதியாக ஆக்குகிறது.
இந்த பயிற்சிகள் கோடாரி + பை = சி என போதுமான மற்றும் தேவையான நிபந்தனையுடன் வழங்கப்படுகின்றன, இதனால் கோடாரி + பை = சி உடன் ஒரு, பி, சி முழு எண்களுக்கு சொந்தமானது, ஒரு தீர்வைக் கொண்டுள்ளது.
- பகுத்தறிவு: அவை பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் மேற்கோள் என வரையறுக்கப்படுகின்றன, அதே வகுப்பில் குறைந்தது 1 டிகிரி உள்ளது. குறிப்பாகப் பேசும்போது , வகுப்பில் ஒரு மாறி கூட இருக்க வேண்டும். ஒரு பகுத்தறிவு செயல்பாட்டைக் குறிக்கும் பொதுவான வடிவம்:
இதில் p (x) மற்றும் q (x) ஆகியவை பல்லுறுப்புக்கோவைகள் மற்றும் q (x) ≠ 0 ஆகும்.
- சமநிலைகள்: இது உறுப்பினர்கள் என அழைக்கப்படும் இரண்டு கணித வெளிப்பாடுகளுக்கு இடையிலான கணித சமத்துவத்துடன் கூடிய ஒரு பயிற்சியாகும், இதில் அறியப்பட்ட கூறுகள் அல்லது தரவு தோன்றும், மற்றும் கணித செயல்பாடுகளால் தொடர்புடைய அறியப்படாத கூறுகள் அல்லது அறியப்படாதவை. மதிப்புகள் சமன்பாட்டின் எண்கள் ஆனது என்றே சொல்ல வேண்டும், குணகங்களாகும், அல்லது மாறிலிகள்; திசையன்கள் அல்லது செயல்பாடுகள் போன்ற மாறிகள் அல்லது சிக்கலான பொருள்களைப் போல, புதிய கூறுகள் ஒரு அமைப்பின் பிற சமன்பாடுகளால் அல்லது செயல்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான வேறு சில நடைமுறைகளால் அமைக்கப்பட வேண்டும்.
மீறிய சமன்பாடுகள்
கணித செயல்பாடுகளின் மூலம் தொடர்புடைய ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட அறியப்படாத இரண்டு கணித வெளிப்பாடுகளுக்கு இடையிலான சமத்துவத்தைத் தவிர வேறொன்றுமில்லை, அவை பிரத்தியேகமாக இயற்கணிதம் மற்றும் இயற்கணிதத்தின் குறிப்பிட்ட அல்லது சரியான கருவிகளைப் பயன்படுத்தி கொடுக்க முடியாத தீர்வைக் கொண்டுள்ளன. H (x) = j (x) ஒரு உடற்பயிற்சி H (x) அல்லது j (x) செயல்பாடுகளில் ஒன்று இயற்கணிதமாக இல்லாதபோது மீறியதாக அழைக்கப்படுகிறது.
வகைக்கெழு சமன்பாடுகள்
அவற்றில், செயல்பாடுகள் அவற்றின் ஒவ்வொரு வழித்தோன்றல்களுடன் தொடர்புடையவை. செயல்பாடுகள் சில உடல் அளவைக் குறிக்கின்றன, மறுபுறம், வழித்தோன்றல்கள் மாற்ற விகிதங்களைக் குறிக்கின்றன, அதே சமயம் சமன்பாடு அவற்றுக்கிடையேயான உறவை வரையறுக்கிறது. வேதியியல், உயிரியல், இயற்பியல், பொறியியல் மற்றும் பொருளாதாரம் உள்ளிட்ட பல துறைகளில் பிந்தையவை மிகவும் முக்கியத்துவம் வாய்ந்தவை.
ஒருங்கிணைந்த சமன்பாடுகள்
இந்த தரவின் செயல்பாடுகளில் தெரியாதவை நேரடியாக ஒருங்கிணைந்த பகுதியில் தோன்றும். ஒருங்கிணைந்த மற்றும் வேறுபட்ட பயிற்சிகள் நிறைய உறவைக் கொண்டுள்ளன, சில கணித சிக்கல்களைக் கூட இந்த இரண்டில் ஒன்றை உருவாக்கலாம், இதற்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு மேக்ஸ்வெல் விஸ்கோலாஸ்டிசிட்டி மாதிரி.
செயல்பாட்டு சமன்பாடுகள்
இது அறியப்படாத செயல்பாடுகள் மற்றும் சுயாதீன மாறிகள் ஆகியவற்றின் மூலம் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது, கூடுதலாக, அதன் மதிப்பு மற்றும் அதன் வெளிப்பாடு இரண்டையும் தீர்க்க வேண்டும்.
மாநில சமன்பாடுகள்
இவை ஹைட்ரோஸ்டேடிக் அமைப்புகளுக்கான அமைப்புரீதியான பயிற்சிகள் ஆகும், அவை பொருளின் பொது நிலை அல்லது அதிகரிப்பு ஆகியவற்றை விவரிக்கின்றன, கூடுதலாக, இது தொகுதி, வெப்பநிலை, அடர்த்தி, அழுத்தம், மாநில செயல்பாடுகள் மற்றும் பொருளுடன் தொடர்புடைய உள் ஆற்றல் ஆகியவற்றுக்கு இடையிலான உறவைக் குறிக்கிறது..
இயக்கத்தின் சமன்பாடுகள்
அந்த கணித அறிக்கையே, அமைப்பின் இயற்பியல் நிலையை நிர்ணயிக்கும் ஒரு மாறி அல்லது மாறிகளின் குழுவின் தற்காலிக வளர்ச்சியை விளக்குகிறது, அமைப்பின் மாற்றத்தை ஊக்குவிக்கும் பிற உடல் பரிமாணங்களுடன். பொருள் புள்ளியின் இயக்கவியலுக்குள் உள்ள இந்த சமன்பாடு, ஒரு பொருளின் எதிர்கால நிலையை அதன் மாறிகள், அதாவது அதன் நிறை, வேகம் அல்லது அதன் இயக்கத்தை பாதிக்கக்கூடிய வேறு ஏதேனும் மாறுபடும்.
இயற்பியலுக்குள் இயக்கத்தின் சமன்பாட்டின் முதல் எடுத்துக்காட்டு, துகள்கள் மற்றும் புள்ளி பொருட்களால் ஆன இயற்பியல் அமைப்புகளுக்கு நியூட்டனின் இரண்டாவது விதியைப் பயன்படுத்துவதாகும்.
அரசியலமைப்பு சமன்பாடுகள்
இது ஒரு இயற்பியல் அமைப்பில் இருக்கும் இயந்திர அல்லது வெப்ப இயக்கவியல் மாறிகள் இடையேயான உறவைத் தவிர வேறொன்றுமில்லை, அதாவது பதற்றம், அழுத்தம், சிதைப்பது, தொகுதி, வெப்பநிலை, என்ட்ரோபி, அடர்த்தி போன்றவை உள்ளன. அனைத்து பொருட்களும் மிகவும் குறிப்பிட்ட கட்டமைப்பு கணித உறவைக் கொண்டுள்ளன, இது உள் மூலக்கூறு அமைப்பை அடிப்படையாகக் கொண்டது.
சமன்பாடுகளை தீர்க்கும்
சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க, அவற்றின் தீர்வு களத்தைக் கண்டுபிடிப்பது முற்றிலும் அவசியம், அதாவது, அவற்றின் சமத்துவம் பூர்த்தி செய்யப்படாத அறியப்படாதவர்களின் மதிப்புகளின் தொகுப்பு அல்லது குழு. ஒரு சமன்பாடு கால்குலேட்டரின் பயன்பாட்டைப் பயன்படுத்தலாம், ஏனெனில் பொதுவாக, இந்த சிக்கல்கள் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட பயிற்சிகளில் வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன.
பெறப்பட்ட சமத்துவத்தை சரிபார்க்கும் அறியப்படாதவற்றில் எந்த மதிப்பும் இல்லை என்பது மிகவும் சாத்தியமானதாக இருப்பதால், இந்த பயிற்சிகள் அனைத்திற்கும் ஒரு தீர்வு இல்லை என்பதையும் குறிப்பிட வேண்டியது அவசியம். இந்த வகை வழக்கில், பயிற்சிகளின் தீர்வுகள் காலியாக உள்ளன, இது தீர்க்க முடியாத சமன்பாடாக வெளிப்படுத்தப்படுகிறது.
சமன்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்
- இயக்கம்: ஒரு பந்தய கார் ஒரு மணி நேரத்தின் கால் மணி நேரத்தில் 50 கி.மீ பயணிக்க எந்த வேகத்தில் பயணிக்க வேண்டும்? தூரம் கிலோமீட்டரில் வெளிப்படுத்தப்படுவதால், மணிக்கு / கிமீ வேகத்தில் செல்ல நேரம் மணிநேர அலகுகளில் எழுதப்பட வேண்டும். அது தெளிவாக இருப்பதால், இயக்கம் நீடிக்கும் நேரம்:
தூரத்தில் கார் பயணம் உள்ளது:
இதன் வேகம் இருக்க வேண்டும் என்பதே இதன் பொருள்:
சூத்திரம்:
எனவே, நாம் "n" ஐ விட்டு வெளியேற வேண்டும், மேலும் நாம் பெறுகிறோம்:
பின்னர் தரவு மாற்றாக உள்ளது:
மேலும் மோல்களின் எண்ணிக்கை 13.64 மோல் ஆகும்.
இப்போது வெகுஜனத்தை கணக்கிட வேண்டும். இது ஹைட்ரஜன் வாயு என்பதால், அதன் அணு எடை அல்லது மோலார் வெகுஜனத்தைக் குறிக்க வேண்டும், இது இரண்டு ஹைட்ரஜன் அணுக்களால் ஆன ஒரு டைட்டோமிக் மூலக்கூறு ஆகும்.
அதன் மூலக்கூறு எடை 2 கிராம் / மோல் (அதன் டையடோமிக் பண்பு காரணமாக), பின்னர் அது பெறப்படுகிறது:
அதாவது, 27.28 கிராம் நிறை பெறப்பட்டுள்ளது.
- அமைப்பு: ஒரு கடினமான கற்றைக்கு 3 பார்கள் இணைக்கப்பட்டுள்ளன. தரவு: பி = 15,000 எல்பிஎஃப், ஒரு = 5 அடி, பி = 5 அடி, சி = 8 அடி (1 அடி = 12 அங்குலங்கள்).
தீர்வு என்னவென்றால், சிறிய சிதைவுகள் இருப்பதாகவும், திருகு முற்றிலும் கடினமானது என்றும் கருதப்படுகிறது, அதனால்தான் P சக்தியைப் பயன்படுத்தும்போது பீம் AB புள்ளி B இன் படி கடுமையாக சுழல்கிறது.
