கணித செயல்பாடுகளில் எழுத்துக்கள், அறிகுறிகள் மற்றும் எண்களின் சேர்க்கை இயற்கணித வெளிப்பாடுகள் என அழைக்கப்படுகிறது. வழக்கமாக கடிதங்கள் அறியப்படாத அளவைக் குறிக்கின்றன மற்றும் அவை மாறிகள் அல்லது அறியப்படாதவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன. இயற்கணித வெளிப்பாடுகள் சாதாரண மொழியின் கணித மொழியின் வெளிப்பாடுகளுக்கு மொழிபெயர்ப்புகளை அனுமதிக்கின்றன. அறியப்படாத மதிப்புகளை எழுத்துக்களால் குறிப்பிடப்படும் எண்களாக மொழிபெயர்க்க வேண்டிய கடமையில் இருந்து இயற்கணித வெளிப்பாடுகள் எழுகின்றன. எண்கள் மற்றும் எழுத்துக்கள் தோன்றும் இந்த வெளிப்பாடுகளின் ஆய்வுக்கு கணிதத்தின் கிளை, அத்துடன் கணித செயல்பாடுகளின் அறிகுறிகள் அல்ஜீப்ரா ஆகும்.
இயற்கணித வெளிப்பாடுகள் என்ன
பொருளடக்கம்
முன்னர் குறிப்பிட்டபடி, இந்த செயல்பாடுகள் கடிதங்கள், எண்கள் மற்றும் அறிகுறிகளின் கலவையைத் தவிர வேறொன்றுமில்லை, பின்னர் அவை வெவ்வேறு கணித செயல்பாடுகளில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. இயற்கணித வெளிப்பாடுகளில், கடிதங்கள் எண்களின் நடத்தைகளைக் கொண்டுள்ளன, அவை அந்த பாடத்திட்டத்தை எடுக்கும்போது, ஒன்று முதல் இரண்டு எழுத்துக்கள் வரை பயன்படுத்தப்படுகின்றன.
உங்களிடம் உள்ள வெளிப்பாட்டைப் பொருட்படுத்தாமல், முதலில் செய்வது எளிமைப்படுத்துவதாகும், இது எண்ணியல் பண்புகளுக்கு சமமான செயல்பாட்டின் (கள்) பண்புகளைப் பயன்படுத்தி அடையப்படுகிறது. ஒரு இயற்கணித செயல்பாட்டின் எண் மதிப்பைக் கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் கடிதத்திற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணை மாற்ற வேண்டும்.
இந்த வெளிப்பாடுகளில் பல பயிற்சிகள் செய்யப்படலாம், மேலும் கேள்விக்குரிய விஷயத்தைப் பற்றிய புரிதலை மேம்படுத்த இந்த பிரிவில் செய்யப்படும்.
இயற்கணித வெளிப்பாடுகள் எடுத்துக்காட்டுகள்:
- (X + 5 / X + 2) + (4X + 5 / X + 2)
X + 5 + 4X + 5 / X + 2
5X + 10 / X + 2
5 (X + 2) / X + 2
5
- (3 / X + 1) - (1 / X + 2)
3 (X + 2) - X - 1 / (X + 1) * (X + 2)
2X - 5 / X ^ 2 + 3X + 2
இயற்கணித மொழி
இயற்கணித மொழி என்பது எண்களைக் குறிக்க சின்னங்களையும் எழுத்துக்களையும் பயன்படுத்தும் ஒன்றாகும். எண்களும் அவற்றின் அடிப்படை எண்கணித செயல்பாடுகளும் (+ -x%) மட்டுமே நிகழும் எண்கணிதத்திற்குள் நடக்கும் வெவ்வேறு செயல்பாடுகளை பொதுமைப்படுத்த உதவும் ஒரு மொழியை நிறுவுவதும் கட்டமைப்பதும் இதன் முக்கிய செயல்பாடு.
எண்கணித மொழியில் எண்களும் அவற்றின் அடிப்படை கணித செயல்பாடுகளும் மட்டுமே பயன்படுத்தப்படுகின்ற எண்கணிதத்திற்குள் உருவாக்கப்பட்டுள்ள வெவ்வேறு செயல்பாடுகளை பொதுமைப்படுத்த உதவும் ஒரு மொழியை நிறுவுவதையும் வடிவமைப்பதையும் இயற்கணித மொழி நோக்கமாகக் கொண்டுள்ளது: கூட்டல் (+), கழித்தல் (-), பெருக்கல் (x) மற்றும் பிரிவு (/).
இயற்கணித மொழி அதன் துல்லியத்தால் வகைப்படுத்தப்படுகிறது, ஏனெனில் இது எண் மொழியை விட மிகவும் உறுதியானது. அதன் மூலம், வாக்கியங்களை சுருக்கமாக வெளிப்படுத்தலாம். எடுத்துக்காட்டு: 3 இன் பெருக்கங்களின் தொகுப்பு (3, 6, 9, 12…) 3n ஆக வெளிப்படுத்தப்படுகிறது, அங்கு n = (1, 2, 3, 4…).
அறியப்படாத எண்களை வெளிப்படுத்தவும் அவற்றுடன் கணித செயல்பாடுகளைச் செய்யவும் இது உங்களை அனுமதிக்கிறது. எடுத்துக்காட்டு, இரண்டு எண்களின் தொகை இவ்வாறு வெளிப்படுத்தப்படுகிறது: a + b. பொதுவான எண் பண்புகள் மற்றும் உறவுகளின் வெளிப்பாட்டை ஆதரிக்கிறது.
எடுத்துக்காட்டு: பரிமாற்ற சொத்து இதுபோன்று வெளிப்படுத்தப்படுகிறது: axb = bx a. இந்த மொழியைப் பயன்படுத்தி எழுதுவதன் மூலம், அறியப்படாத அளவுகளை எழுத எளிய சின்னங்களுடன் கையாளலாம், கோட்பாடுகளை எளிமைப்படுத்தவும், சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளை உருவாக்கவும் அவற்றை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்ற ஆய்வையும் அனுமதிக்கிறது.
இயற்கணித அறிகுறிகள் மற்றும் சின்னங்கள்
இயற்கணிதத்தில், குறியீடுகள் மற்றும் அறிகுறிகள் இரண்டும் தொகுப்புக் கோட்பாட்டில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, இவை சமன்பாடுகள், தொடர், மெட்ரிக்குகள் போன்றவற்றை உருவாக்குகின்றன அல்லது குறிக்கின்றன. கடிதங்கள் வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன அல்லது மாறிகள் என பெயரிடப்படுகின்றன, ஏனெனில் ஒரே கடிதம் மற்ற சிக்கல்களில் பயன்படுத்தப்படுகிறது மற்றும் அதன் மதிப்பு வெவ்வேறு மாறிகளைக் காண்கிறது. சில வகைப்பாடு இயற்கணித வெளிப்பாடுகள் பின்வருமாறு:
இயற்கணித பின்னங்கள்
ஒரு இயற்கணிதப் பகுதியானது இரண்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பகுதியால் குறிக்கப்படுகிறது, இது எண் பின்னங்களுக்கு ஒத்த நடத்தையைக் காட்டுகிறது. கணிதத்தில், பெருக்கல் மற்றும் பிரிவு செய்வதன் மூலம் இந்த பின்னங்களுடன் நீங்கள் செயல்படலாம். ஆகையால், இயற்கணித பின்னம் இரண்டு இயற்கணித வெளிப்பாடுகளின் பகுதியால் குறிக்கப்படுகிறது, அங்கு எண் ஈவுத்தொகை மற்றும் வகுப்பான் வகுப்பான்.
இயற்கணித பின்னங்களின் பண்புகளில், வகுப்பான் அதே பூஜ்ஜியமற்ற அளவால் பிரிக்கப்பட்டால் அல்லது பெருக்கப்பட்டால், பின்னம் மாற்றப்படாது என்பதை முன்னிலைப்படுத்தலாம். ஒரு இயற்கணித பகுதியை எளிமைப்படுத்துவது, அதை இனி குறைக்க முடியாத ஒரு பகுதியாக மாற்றுவதை உள்ளடக்கியது, இது எண் மற்றும் வகுப்பினை உருவாக்கும் பல்லுறுப்புக்கோவைகளை காரணியாகக் கொள்ள வேண்டியது அவசியம்.
வகைப்பாடு இயற்கணித வெளிப்பாடுகள் பின்வரும் வகைகளில் பிரதிபலிக்கின்றன: சமமான, எளிய, சரியான, முறையற்ற, எண் அல்லது பூஜ்ய வகுப்பால் ஆனது. பின்னர் அவை ஒவ்வொன்றையும் பார்ப்போம்.
சமமானவை
குறுக்கு தயாரிப்பு ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்போது, அதாவது பின்னங்களின் விளைவாக ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்போது இந்த அம்சம் எதிர்கொள்ளப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, இந்த இரண்டு இயற்கணித பின்னங்களில்: 2 * 10 = 5 * 4 என்றால் 2/5 மற்றும் 4/10 சமமாக இருக்கும்.
எளிமையானது
அவை எண் மற்றும் வகுப்பான் முழு எண் பகுத்தறிவு வெளிப்பாடுகளைக் குறிக்கும்.
சொந்தமானது
அவை எளிய பின்னங்களாகும், இதில் எண்களை வகுப்பதை விட குறைவாக இருக்கும்.
முறையற்றது
அவை எளிய பின்னங்களாகும், இதில் எண்களை வகுப்பிற்கு சமமாகவோ அல்லது அதிகமாகவோ இருக்கும்.
கலப்பு
அவை ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட பின்னங்களால் உருவாகின்றன, அவை எண், வகுத்தல் அல்லது இரண்டிலும் அமைந்திருக்கலாம்.
பூஜ்ய எண் அல்லது வகுத்தல்
மதிப்பு 0 ஆக இருக்கும்போது நிகழ்கிறது. 0/0 பின்னம் இருந்தால், அது நிச்சயமற்றதாக இருக்கும். கணித செயல்பாடுகளைச் செய்ய இயற்கணித பின்னங்களைப் பயன்படுத்தும் போது, எண் பின்னங்களைக் கொண்ட செயல்பாடுகளின் சில பண்புகள் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்பட வேண்டும், எடுத்துக்காட்டாக, வகுப்பாளர்கள் வெவ்வேறு இலக்கங்களைக் கொண்டிருக்கும்போது குறைவான பொதுவான பலவற்றைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.
பிரிவு மற்றும் பெருக்கல் இரண்டிலும், செயல்பாடுகள் மேற்கொள்ளப்படுகின்றன மற்றும் எண்ணியல் பின்னங்களைப் போலவே மேற்கொள்ளப்படுகின்றன, ஏனெனில் இவை முன்னர் முடிந்தவரை எளிமைப்படுத்தப்பட வேண்டும்.
மோனோமியல்கள்
மோனோமியல்கள் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படும் இயற்கணித வெளிப்பாடுகள் ஆகும், அவை ஒரு குணகம் மற்றும் ஒரு நேரடி பகுதி என அழைக்கப்படுகின்றன, அவை எழுத்துக்களால் குறிக்கப்படுகின்றன மற்றும் வெவ்வேறு சக்திகளுக்கு உயர்த்தப்படலாம். எடுத்துக்காட்டாக, மோனோமியல் 2x² அதன் குணகமாக 2 ஐக் கொண்டுள்ளது மற்றும் x² என்பது நேரடி பகுதியாகும்.
பல சந்தர்ப்பங்களில், நேரடிப் பகுதி அறியப்படாதவர்களின் பெருக்கத்தால் உருவாக்கப்படலாம், எடுத்துக்காட்டாக 2xy விஷயத்தில். இந்த எழுத்துக்கள் ஒவ்வொன்றும் நிச்சயமற்ற அல்லது மாறி என்று அழைக்கப்படுகின்றன. ஒரு மோனோமியல் என்பது ஒரு சொல் கொண்ட ஒரு வகை பல்லுறுப்புக்கோவையாகும், கூடுதலாக, ஒத்த மோனோமியல்களுக்கு முன்னால் இருப்பதற்கான வாய்ப்பு உள்ளது.
மோனோமியல்களின் கூறுகள்
மோனோமியல் 5x ^ 3 கொடுக்கப்பட்டுள்ளது; பின்வரும் கூறுகள் வேறுபடுகின்றன:
- குணகம்: 5
- நேரடி பகுதி: x ^ 3
மோனோமியல்களின் தயாரிப்பு என்பது குணகம் ஆகும், இது நேரடி பகுதியைப் பெருக்கி தோன்றும் எண்ணைக் குறிக்கிறது. பொதுவாக இது ஆரம்பத்தில் வைக்கப்படுகிறது. மோனோமியல்களின் தயாரிப்பு 1 மதிப்பைக் கொண்டிருந்தால், அது எழுதப்படவில்லை, அது ஒருபோதும் பூஜ்ஜியமாக இருக்க முடியாது, ஏனெனில் முழு வெளிப்பாடும் பூஜ்ஜியத்தின் மதிப்பைக் கொண்டிருக்கும். மோனோமியல் பயிற்சிகளைப் பற்றி தெரிந்து கொள்ள ஒரு விஷயம் இருந்தால், அது:
- ஒரு மோனோமியலில் ஒரு குணகம் இல்லாவிட்டால், அது ஒன்றுக்கு சமம்.
- எந்தவொரு காலத்திற்கும் அடுக்கு இல்லை என்றால், அது ஒன்றுக்கு சமம்.
- எந்தவொரு நேரடி பகுதியும் இல்லை, ஆனால் தேவைப்பட்டால், அது பூஜ்ஜியத்தின் ஒரு அடுக்குடன் கருதப்படுகிறது.
- இவை எதுவுமே ஒத்துப்போகவில்லை என்றால், நீங்கள் மோனோமியல் பயிற்சிகளைக் கையாள்வதில்லை, பல்லுறுப்புக்கோவைகள் மற்றும் மோனோமியல்களுக்கு இடையிலான பயிற்சிகளிலும் அதே விதி உள்ளது என்று கூட நீங்கள் கூறலாம்.
மோனோமியல்களின் சேர்த்தல் மற்றும் கழித்தல்
இரண்டு நேரியல் மோனோமியல்களுக்கு இடையில் தொகையைச் செயல்படுத்த, நேரியல் பகுதியை வைத்து குணகங்களைச் சேர்க்க வேண்டியது அவசியம். இரண்டு நேரியல் மோனோமியல்களின் கழிப்புகளில், நேரியல் பகுதியை, தொகைகளைப் போலவே, குணகங்களைக் கழிக்க முடியும், பின்னர் குணகங்கள் பெருக்கப்பட்டு, அடுக்குக்கள் ஒரே தளங்களுடன் சேர்க்கப்படுகின்றன.
மோனோமியல்களின் பெருக்கல்
இது ஒரு மோனோமியல் ஆகும், அதன் குணகம் என்பது குணகங்களின் தயாரிப்பு அல்லது விளைவாகும், அவை ஒரே மாதிரியான அடித்தளத்தைக் கொண்ட சக்திகளின் பெருக்கத்தின் மூலம் பெறப்பட்ட ஒரு நேரடி பகுதியைக் கொண்டுள்ளன.
மோனோமியல்களின் பிரிவு
இது மற்றொரு மோனோமியலைத் தவிர வேறொன்றுமில்லை, அதன் குணகம் பெறப்பட்ட குணகங்களின் அளவு, கூடுதலாக, அதே அடித்தளத்தைக் கொண்ட சக்திகளுக்கு இடையிலான பிளவுகளிலிருந்து பெறப்பட்ட ஒரு நேரடி பகுதியைக் கொண்டுள்ளது.
பல்லுறுப்புக்கோவைகள்
நாம் பல்லுறுப்புக்கோவைகளைப் பற்றி பேசும்போது, சேர்த்தல், கழித்தல் மற்றும் மாறிகள், மாறிலிகள் மற்றும் எக்ஸ்போனெண்டுகளால் ஆன கட்டளையிடப்பட்ட பெருக்கத்தின் இயற்கணித செயல்பாட்டைக் குறிப்பிடுகிறோம். இயற்கணிதத்தில், ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட மாறிகள் (x, y, z), மாறிலிகள் (முழு எண் அல்லது பின்னங்கள்) மற்றும் எக்ஸ்போனென்ட்கள் (அவை நேர்மறை முழு எண்ணாக மட்டுமே இருக்க முடியும்) ஆகியவற்றைக் கொண்டிருக்கலாம்.
பல்லுறுப்புக்கோவைகள் வரையறுக்கப்பட்ட சொற்களால் ஆனவை, ஒவ்வொரு காலமும் அவை உருவாக்கப்பட்ட மூன்று உறுப்புகளில் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்டவற்றைக் கொண்டிருக்கும் ஒரு வெளிப்பாடு ஆகும்: மாறிகள், மாறிலிகள் அல்லது அடுக்கு. எடுத்துக்காட்டாக: 9, 9x, 9xy அனைத்தும் சொற்கள். விதிமுறைகளை அடையாளம் காண மற்றொரு வழி, அவை கூட்டல் மற்றும் கழிப்பதன் மூலம் பிரிக்கப்படுகின்றன.
பல்லுறுப்புக்கோவைகளைத் தீர்க்க, எளிமைப்படுத்த, சேர்க்க அல்லது கழிக்க, நீங்கள் அதே மாறிகள் கொண்ட சொற்களில் சேர வேண்டும், எடுத்துக்காட்டாக, x உடனான சொற்கள், “y” உடன் உள்ள சொற்கள் மற்றும் மாறிகள் இல்லாத சொற்கள். மேலும், சேர்க்க, கழித்தல், அல்லது பெருக்கலாமா என்பதை தீர்மானிக்கும் காலத்திற்கு முன் அடையாளத்தைப் பார்ப்பது முக்கியம். ஒரே மாறிகள் கொண்ட விதிமுறைகள் தொகுக்கப்பட்டுள்ளன, சேர்க்கப்படுகின்றன அல்லது கழிக்கப்படுகின்றன.
பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் வகைகள்
ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் சொற்களின் எண்ணிக்கை அது எந்த வகை பல்லுறுப்புக்கோவை என்பதைக் குறிக்கும், எடுத்துக்காட்டாக, ஒற்றை கால பல்லுறுப்புக்கோவை இருந்தால், அது ஒரு ஒற்றுமையை எதிர்கொள்கிறது. இதற்கு ஒரு தெளிவான எடுத்துக்காட்டு பல்லுறுப்புறுப்பு பயிற்சிகளில் ஒன்றாகும் (8xy). இரண்டு கால பல்லுறுப்புக்கோவையும் உள்ளது, இது ஒரு பைனோமியல் என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் பின்வரும் எடுத்துக்காட்டு மூலம் அடையாளம் காணப்படுகிறது: 8xy - 2y.
இறுதியாக, மூன்று சொற்களின் பல்லுறுப்புக்கோவை, அவை முக்கோணங்கள் என அழைக்கப்படுகின்றன மற்றும் 8xy - 2y + 4 இன் பல்லுறுப்புறுப்பு பயிற்சிகளில் ஒன்றால் அடையாளம் காணப்படுகின்றன. முக்கோணங்கள் என்பது மூன்று சொற்களின் கூட்டுத்தொகை அல்லது வேறுபாட்டால் உருவாகும் இயற்கணித வெளிப்பாட்டின் ஒரு வகை அல்லது மோனோமியல்கள் (ஒத்த மோனோமியல்கள்).
பல்லுறுப்புக்கோவையின் அளவைப் பற்றி பேசுவதும் முக்கியம், ஏனென்றால் இது ஒற்றை மாறி என்றால், அது மிகப்பெரிய அடுக்கு ஆகும். ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட மாறிகளைக் கொண்ட ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் அளவு மிகப் பெரிய அடுக்கு கொண்ட காலத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.
பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல்
பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் தொகை சொற்களை இணைப்பதை உள்ளடக்குகிறது. இதேபோன்ற சொற்கள் ஒரே மாதிரியான அல்லது ஒரே சக்திக்கு உயர்த்தப்பட்ட மாறிகளைக் கொண்ட மோனோமியல்களைக் குறிக்கின்றன.
பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் கூட்டுத்தொகை உட்பட பல்லுறுப்புக்கோவைக் கணக்கீடுகளைச் செய்வதற்கு வெவ்வேறு வழிகள் உள்ளன, அவை இரண்டு வெவ்வேறு வழிகளில் செய்யப்படலாம்: கிடைமட்டமாகவும் செங்குத்தாகவும்.
- கிடைமட்டமாக பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் தொகை: இது கிடைமட்டமாக செயல்பாடுகளைச் செய்யப் பயன்படுகிறது, பணிநீக்கம் மதிப்புக்குரியது, ஆனால் முதலில் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை எழுதப்பட்டு பின்னர் அதே வரியில் பின்பற்றப்படுகிறது. அதன்பிறகு, சேர்க்கப்படவோ அல்லது கழிக்கவோ போகும் பிற பல்லுறுப்புக்கோவை எழுதப்பட்டு இறுதியாக, இதே போன்ற சொற்கள் தொகுக்கப்படுகின்றன.
- பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் செங்குத்துத் தொகை: முதல் பல்லுறுப்புக்கோவை ஒரு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட வழியில் எழுதுவதன் மூலம் இது அடையப்படுகிறது. இது முழுமையடையாவிட்டால், விடுபட்ட சொற்களின் இடைவெளிகளை இலவசமாக விட்டுவிடுவது முக்கியம். பின்னர், அடுத்த பல்லுறுப்புக்கோவை முந்தையதை விட சற்று கீழே எழுதப்பட்டுள்ளது, இந்த வழியில், மேலே உள்ளதைப் போன்ற சொல் கீழே இருக்கும். இறுதியாக ஒவ்வொரு நெடுவரிசையும் சேர்க்கப்படும்.
இரண்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளைச் சேர்க்க, அதே அளவின் சொற்களின் குணகங்கள் சேர்க்கப்பட வேண்டும் என்பதைச் சேர்ப்பது முக்கியம். ஒரே பட்டத்தின் இரண்டு சொற்களைச் சேர்ப்பதன் விளைவாக ஒரே பட்டத்தின் மற்றொரு சொல். எந்தவொரு டிகிரியிலிருந்தும் எந்தவொரு காலமும் காணவில்லை என்றால், அதை 0 உடன் முடிக்க முடியும். மேலும் அவை பொதுவாக மிக உயர்ந்த முதல் மிகக் குறைந்த அளவு வரை கட்டளையிடப்படுகின்றன.
மேலே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, இரண்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் கூட்டுத்தொகையைச் செய்ய, நீங்கள் ஒரே அளவின் விதிமுறைகளை மட்டுமே சேர்க்க வேண்டும். இந்த செயல்பாட்டின் பண்புகள் பின்வருமாறு:
- துணை பண்புகள்: இதில் x உடன் வரும் குணகங்களை ஒரே சக்திக்கு உயர்த்துவதன் மூலம் இரண்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் தொகை தீர்க்கப்படுகிறது.
- பரிமாற்ற சொத்து: இது கூட்டலின் வரிசையை மாற்றுகிறது மற்றும் முடிவைக் கழிக்க முடியாது. நடுநிலை கூறுகள், அவற்றின் குணகங்கள் 0 க்கு சமமாக இருக்கும். நடுநிலை உறுப்புக்கு ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை சேர்க்கப்படும் போது, இதன் விளைவாக முதல் நிலைக்கு சமம்.
- எதிரெதிர் சொத்து: ஒட்டுமொத்த பல்லுறுப்புக்கோட்டு குணகங்களின் அனைத்து தலைகீழ் குணகங்களையும் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவையால் உருவாக்கப்பட்டது. எனவே, கூட்டல் செயல்பாட்டைச் செய்யும்போது, இதன் விளைவாக பூஜ்ய பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும்.
பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் கழித்தல் குறித்து, (பல்லுறுப்புக்கோவைகளுடன் செயல்பாடுகள்) மோனோமியல்களை அவை கொண்டிருக்கும் குணாதிசயங்களின்படி தொகுத்து, ஒத்தவற்றை எளிமையாக்கத் தொடங்குவது கட்டாயமாகும். பல்லுறுப்புக்கோவையுடனான செயல்பாடுகள் சப்டிரஹெண்டிற்கு நேர்மாறாக மினுயெண்டில் சேர்ப்பதன் மூலம் மேற்கொள்ளப்படுகின்றன.
பல்லுறுப்புக்கோவைகளைக் கழிப்பதைத் தொடர மற்றொரு திறமையான வழி, ஒவ்வொரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் எதிரெதிரையும் மற்றொன்றுக்குக் கீழே எழுதுவது. எனவே, ஒத்த மோனோமியல்கள் நெடுவரிசைகளில் உள்ளன, அவற்றைச் சேர்க்க நாங்கள் தொடர்கிறோம். எந்த நுட்பம் மேற்கொள்ளப்பட்டாலும், முடிவில், முடிவு எப்போதும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும், நிச்சயமாக, அது சரியாக செய்யப்பட்டால்.
பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பெருக்கல்
பல்லுறுப்புக்கோவைகள் மற்றும் மோனோமியல்களுக்கு இடையிலான மோனோமியல்கள் அல்லது பயிற்சிகளின் பெருக்கம், ஒரு விளைபொருளைக் கண்டுபிடிப்பதற்காக மேற்கொள்ளப்படும் ஒரு செயல்பாடாகும், இது ஒரு மோனோமியல் (ஒரு எண்ணின் பெருக்கத்தின் அடிப்படையில் இயற்கணித வெளிப்பாடு மற்றும் நேர்மறை முழு எக்ஸ்போனெண்டிற்கு எழுப்பப்பட்ட கடிதம்) வெளிப்பாடு, இது ஒரு சுயாதீனமான சொல், மற்றொரு மோனோமியல் அல்லது ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை (வரையறுக்கப்பட்ட மோனோமியல்கள் மற்றும் சுயாதீனமான சொற்கள்) என்றால்.
இருப்பினும், ஏறக்குறைய அனைத்து கணித செயல்பாடுகளையும் போலவே, பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பெருக்கமும் முன்மொழியப்பட்ட செயல்பாட்டைத் தீர்க்கும்போது பின்பற்ற வேண்டிய தொடர் படிகளைக் கொண்டுள்ளது, அவை பின்வரும் நடைமுறைகளில் சுருக்கமாகக் கூறப்படலாம்:
முதலில் செய்ய வேண்டியது, அதன் வெளிப்பாட்டின் மூலம் மோனோமியலைப் பெருக்க வேண்டும் (அதன் ஒவ்வொரு சொற்களின் அறிகுறிகளையும் பெருக்கவும்). அதன் பிறகு, குணக மதிப்புகள் பெருக்கப்பட்டு, அந்த செயல்பாட்டில் மதிப்பு காணப்படும்போது, சொற்களில் காணப்படும் மோனோமியல்களின் நேரடி சேர்க்கப்படுகிறது. பின்னர் ஒவ்வொரு முடிவும் அகர வரிசைப்படி எழுதப்பட்டு, இறுதியாக, ஒவ்வொரு அடுக்கு சேர்க்கப்படும், அவை அடிப்படை எழுத்துகளில் அமைந்துள்ளன.
பல்லுறுப்புறுப்பு பிரிவு
ரஃபினி முறை என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. இது ஒரு பல்லுறுப்புறுப்பை ஒரு பைனோமியலால் பிரிக்க அனுமதிக்கிறது, மேலும் ஒரு பல்லுறுப்புறுப்பின் வேர்களை பைனோமியல்களாகக் கண்டறியவும் அனுமதிக்கிறது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இந்த நுட்பம் டிகிரி n இன் இயற்கணித பல்லுறுப்புக்கோவை, ஒரு இயற்கணித இருமுனையமாகவும், பின்னர் பட்டம் n-1 இன் மற்றொரு இயற்கணித பல்லுறுப்புக்கோவையாகவும் பிரிக்க அல்லது சிதைக்க உதவுகிறது. இது சாத்தியமாக இருக்க, பிரித்தல் துல்லியமாக இருக்க, தனித்துவமான பல்லுறுப்புறுப்பின் வேர்களில் ஒன்றையாவது தெரிந்து கொள்ள வேண்டும் அல்லது தெரிந்து கொள்ள வேண்டும்.
X - r வடிவத்தின் ஒரு பைனோமியல் மூலம் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை பிரிக்க இது ஒரு திறமையான நுட்பமாகும். வகுப்பி ஒரு நேரியல் காரணியாக இருக்கும்போது ரஃபினியின் விதி செயற்கை பிரிவின் ஒரு சிறப்பு நிகழ்வு ஆகும். ருபினியின் முறையை இத்தாலிய கணிதவியலாளர், பேராசிரியர் மற்றும் மருத்துவர் பாவ்லோ ருபினி 1804 இல் விவரித்தார், அவர் ருபினியின் விதி என்று அழைக்கப்படும் புகழ்பெற்ற முறையை கண்டுபிடித்ததோடு மட்டுமல்லாமல், இது ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் துண்டு துண்டின் விளைவாக குணகங்களைக் கண்டறிய உதவுகிறது. இருமுனை; சமன்பாடுகளின் வேர்களின் தோராயமான கணக்கீட்டில் இந்த நுட்பத்தை அவர் கண்டுபிடித்து வடிவமைத்தார்.
எப்போதும்போல, ஒரு இயற்கணித செயல்பாட்டிற்கு வரும்போது, ருபினியின் விதி, விரும்பிய முடிவைப் பெறுவதற்கு நிறைவேற்றப்பட வேண்டிய தொடர்ச்சியான படிகளை உள்ளடக்கியது, இந்த விஷயத்தில்: எந்தவொரு பல்லுறுப்புறுப்பு மற்றும் ஒரு பிரிவில் உள்ளார்ந்த அளவையும் மீதமுள்ளவற்றையும் கண்டறியவும் x + r வடிவத்தின் இருவகை.
முதலாவதாக, செயல்பாட்டைத் தொடங்கும்போது, ருபினி விதி முறையால் எதிர்பார்க்கப்படும் வடிவத்திற்கு பதிலளிக்கும் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் மற்றும் இருவகைகளாக அவை உண்மையில் கருதப்படுகிறதா என்பதை சரிபார்க்க அல்லது தீர்மானிக்க வெளிப்பாடுகள் மதிப்பாய்வு செய்யப்பட வேண்டும்.
இந்த படிகள் சரிபார்க்கப்பட்டதும், பல்லுறுப்புக்கோவை கட்டளையிடப்படுகிறது (இறங்கு வரிசையில்). இந்த படிக்குப் பிறகு, பல்லுறுப்புக்கோவையின் சொற்களின் குணகங்கள் மட்டுமே (சுயாதீனமானவை வரை) கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்படுகின்றன, அவற்றை இடமிருந்து வலமாக ஒரு வரிசையில் வைக்கின்றன. தேவைப்படும் சொற்களுக்கு சில இடங்கள் விடப்படுகின்றன (முழுமையற்ற பல்லுறுப்புறுப்பு விஷயத்தில் மட்டுமே). கேலி அடையாளம் வரிசையின் இடதுபுறத்தில் வைக்கப்பட்டுள்ளது, இது ஈவுத்தொகை பல்லுறுப்புக்கோவையின் குணகங்களால் ஆனது.
கேலரியின் இடது பகுதியில், இருவகையின் சுயாதீனமான சொல்லை வைக்க நாங்கள் தொடர்கிறோம், இது இப்போது ஒரு வகுப்பான் மற்றும் அதன் அடையாளம் தலைகீழ். சுயாதீனமானது பல்லுறுப்புக்கோவையின் முதல் குணகத்தால் பெருக்கப்படுகிறது, இதனால் முதல் வரிசையில் கீழே இரண்டாவது வரிசையில் பதிவு செய்யப்படுகிறது. இரண்டாவது குணகம் மற்றும் சுயாதீன மோனோமியல் காலத்தின் தயாரிப்பு ஆகியவை முதல் குணகத்தால் கழிக்கப்படுகின்றன.
முந்தைய கழித்தலின் விளைவாக பைனோமியலின் சுயாதீனமான சொல் பெருக்கப்படுகிறது. ஆனால் கூடுதலாக, இது இரண்டாவது வரிசையில் வைக்கப்படுகிறது, இது நான்காவது குணகத்துடன் ஒத்துள்ளது. எல்லா விதிமுறைகளையும் அடையும் வரை செயல்பாடு மீண்டும் நிகழ்கிறது. இந்த பெருக்கங்களின் அடிப்படையில் பெறப்பட்ட மூன்றாவது வரிசை அதன் கடைசி காலத்தைத் தவிர்த்து, ஒரு பிரிவாக எடுக்கப்படுகிறது, இது பிரிவின் எஞ்சியதாக கருதப்படும்.
இதன் விளைவாக வெளிப்படுத்தப்படுகிறது, மாறியின் ஒவ்வொரு குணகம் மற்றும் அதனுடன் ஒத்திருக்கும் பட்டம் ஆகியவற்றுடன், அவை முதலில் இருந்ததை விட குறைந்த அளவோடு வெளிப்படுத்தத் தொடங்குகின்றன.
- மீதமுள்ள தேற்றம்: இது ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை P (x) ஐ பிரிக்கப் பயன்படும் ஒரு நடைமுறை முறையாகும், அதன் வடிவம் xa; இதில் மீதமுள்ள மதிப்பு மட்டுமே பெறப்படுகிறது. இந்த விதியைப் பயன்படுத்த, பின்வரும் வழிமுறைகள் பின்பற்றப்படுகின்றன. பல்லுறுப்புக்கோவை ஈவுத்தொகை பூர்த்தி செய்யாமலோ அல்லது வரிசைப்படுத்தாமலோ எழுதப்படுகிறது, பின்னர் ஈவுத்தொகையின் மாறி x வகுப்பியின் சுயாதீன காலத்தின் எதிர் மதிப்புடன் மாற்றப்படுகிறது. இறுதியாக, செயல்பாடுகள் இணைந்து தீர்க்கப்படுகின்றன.
மீதமுள்ள தேற்றம் என்பது ஒரு இயற்கணித பிரிவின் எஞ்சியதைப் பெறக்கூடிய ஒரு முறையாகும், ஆனால் அதில் எந்தப் பிரிவையும் செய்யத் தேவையில்லை.
- ருபினியின் முறை: ருபினியின் முறை அல்லது விதி என்பது ஒரு பல்லுறுப்புறுப்பை ஒரு இருவகையால் பிரிக்க அனுமதிக்கும் ஒரு முறையாகும், மேலும் ஒரு பல்லுறுப்புறுப்பின் வேர்களை இருவகைகளில் காரணியாகக் கண்டறியவும் அனுமதிக்கிறது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இந்த நுட்பம் டிகிரி n இன் இயற்கணித பல்லுறுப்புக்கோவை, ஒரு இயற்கணித இருமுனையமாகவும், பின்னர் பட்டம் n-1 இன் மற்றொரு இயற்கணித பல்லுறுப்புக்கோவையாகவும் பிரிக்க அல்லது சிதைக்க உதவுகிறது. இது சாத்தியமாக இருக்க, பிரித்தல் துல்லியமாக இருக்க, தனித்துவமான பல்லுறுப்புறுப்பின் வேர்களில் ஒன்றையாவது தெரிந்து கொள்ள வேண்டும் அல்லது தெரிந்து கொள்ள வேண்டும்.
- பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் வேர்கள்: ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் வேர்கள் பூஜ்ஜியத்திற்கு மதிப்புள்ள ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை உருவாக்கும் சில எண்கள். முழு எண் குணகங்களின் பல்லுறுப்புக்கோவையின் முழுமையான வேர்கள் சுயாதீனமான காலத்தின் வகுப்பிகளாக இருக்கும் என்றும் நாம் கூறலாம். பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமான ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை நாம் தீர்க்கும்போது, பல்லுறுப்புறுப்பின் வேர்களை தீர்வுகளாகப் பெறுகிறோம். பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் வேர்கள் மற்றும் காரணிகளின் பண்புகளாக, ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் பூஜ்ஜியங்கள் அல்லது வேர்கள் பல்லுறுப்புக்கோவைக்குச் சொந்தமான சுயாதீனமான காலத்தின் வகுப்பாளர்களால் என்று நாம் கூறலாம்.
எடுத்துக்காட்டாக, xa வடிவத்தின் மற்றொரு பல்லுறுப்புக்கோவை p (x) இன் பிரிவின் எஞ்சிய பகுதியைக் கண்டுபிடிக்க இது நம்மை அனுமதிக்கிறது. இந்த தேற்றத்திலிருந்து இது ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை p (x) ஐ xa ஆல் வகுக்க முடியும் என்பது ஒரு பல்லுறுப்புறுப்பின் வேராக இருந்தால் மட்டுமே, p (a) = 0 என்றால் மட்டுமே. C (x) என்றால் மேற்கோள் மற்றும் R (x) எந்தவொரு பல்லுறுப்புக்கோவை p (x) ஐ ஒரு பைனோமியலால் பிரிப்பதன் மீதமுள்ள (xa) p (x) இன் எண் மதிப்பு, x = a க்கு, இது xa ஆல் அதன் பிரிவின் எஞ்சிய பகுதிக்கு சமம்.
பின்னர் நாம் இதைச் சொல்வோம்: nP (a) = C (a) • (a - a) + R (a) = R (a). பொதுவாக, Xa ஆல் ஒரு பிரிவின் எஞ்சியதைப் பெறுவதற்கு, x ஐ மாற்றுவதை விட ருபினியின் விதியைப் பயன்படுத்துவது மிகவும் வசதியானது. எனவே, மீதமுள்ள தேற்றம் சிக்கல்களைத் தீர்க்க மிகவும் பொருத்தமான முறையாகும்.
கணித உலகில், ருபினியின் விதி x - r வடிவத்தின் ஒரு பைனோமியல் மூலம் ஒரு பல்லுறுப்புறுப்பைப் பிரிப்பதற்கான திறமையான நுட்பமாகும். வகுப்பி ஒரு நேரியல் காரணியாக இருக்கும்போது ரஃபினியின் விதி செயற்கை பிரிவின் ஒரு சிறப்பு நிகழ்வு ஆகும்.
ருபினியின் முறையை இத்தாலிய கணிதவியலாளர், பேராசிரியர் மற்றும் மருத்துவர் பாவ்லோ ருபினி 1804 இல் விவரித்தார், அவர் ருபினியின் விதி என்று அழைக்கப்படும் புகழ்பெற்ற முறையை கண்டுபிடித்ததோடு மட்டுமல்லாமல், இது ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் துண்டு துண்டின் விளைவாக குணகங்களைக் கண்டறிய உதவுகிறது. இருமுனை; சமன்பாடுகளின் வேர்களின் தோராயமான கணக்கீட்டில் இந்த நுட்பத்தை அவர் கண்டுபிடித்து வடிவமைத்தார்.
பின்னர், ஒவ்வொரு மூலத்திற்கும், எடுத்துக்காட்டாக, x = a வகையின் (xa) வகையின் இருவகைக்கு ஒத்திருக்கிறது. நாம் ஒரு பொருளாக வெளிப்படுத்தினால் அல்லது காரணிகளின் பல்லுறுப்புக்கோவை வெளிப்படுத்த முடியும் (xa) வகைகளின் (xa) வேர்கள், x = a, அந்த முடிவுக்கு ஒத்திருக்கும். பைனோமியல்களின் எக்ஸ்போனென்ட்களின் தொகை பல்லுறுப்புக்கோவையின் அளவிற்கு சமம் என்பதை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும், மேலும் ஒரு சுயாதீனமான சொல் இல்லாத எந்தவொரு பல்லுறுப்புக்கோவையும் ரூட் x = 0 என ஒப்புக் கொள்ளும் என்பதையும் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும், மற்றொரு வழியில், இது ஒரு எக்ஸ் காரணி.
காரணிகளாக காரணியாக்க சாத்தியம் இல்லாதபோது, ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை "பிரதம" அல்லது "மறுக்கமுடியாதது" என்று அழைப்போம்.
இந்த விஷயத்தை ஆராய்வதற்கு இயற்கணிதத்தின் அடிப்படை தேற்றத்தைப் பற்றி நாம் தெளிவாக இருக்க வேண்டும், இது மாறாத மாறி மற்றும் சிக்கலான குணகங்களில் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை அதன் பட்டம் போன்ற பல வேர்களைக் கொண்டிருப்பது போதுமானது என்று கூறுகிறது, ஏனெனில் வேர்கள் அவற்றின் பெருக்கங்களைக் கொண்டுள்ளன. பட்டம் n இன் எந்த இயற்கணித சமன்பாட்டிலும் n சிக்கலான தீர்வுகள் இருப்பதை இது உறுதிப்படுத்துகிறது. டிகிரி n இன் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை அதிகபட்சமாக n உண்மையான வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.
எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் பயிற்சிகள்
இந்த பிரிவில் உள்ளடக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு தலைப்புகளின் சில இயற்கணித வெளிப்பாடுகள் தீர்க்கப்பட்ட பயிற்சிகளை இந்த பகுதியில் வைப்போம்.
இயற்கணித வெளிப்பாடுகள் பயிற்சிகள்:
- X ^ 2 - 9 / 2X + 6
(X + 3) * (X - 3) / 2 * (X + 3)
X - 3/2
- X ^ 2 + 2X + 1 / X ^ 2 - 1
(X + 1) ^ 2 / (X + 1) * (X - 1)
X + 1 / X - 1
பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் தொகை
- 2x + 3x + 5x = (2 + 3 + 5) x = 10 x
- P (x) = 2 × 2 + 5x-6
Q (x) = 3 × 2-6x + 3
P (x) + Q (x) = (2 × 2 + 5x-6) + (3 × 2-6x +3) = (2 × 2 + 3 × 2) + (5x-6x) + (-6 + 3) = 5 × 2-x-3
பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் கழித்தல்
P (x) = 2 × 2 + 5x-6
Q (x) = 3 × 2-6x + 3
P (x) -Q (x) = (2 × 2 + 5x-6) - (3 × 2-6x +3) = (2 × 2 + 5x-6) + (-3 × 2 + 6x-3) = (2 × 2-3 × 2) + (5x + 6x) + (-6-3) = -x2 + 11x-9
பல்லுறுப்புறுப்பு பிரிவு
- 8 அ / 2 அ = (8/2). (அ / அ) = 4
- 15 ay / 3a = (15/3) (ay) / a = 5 மற்றும்
- 12 bxy / -2 bxy = (12 / -2) (bxy) / (bxy.) = -6
- -6 v2.c. x / -3vc = (-6 / -3) (v2.c. x) / (v. c) = 2 v
இயற்கணித வெளிப்பாடுகள் (பைனோமியல் ஸ்கொயர்)
(x + 3) 2 = x 2 + 2 • x • 3 + 32 = x 2 + 6 x + 9
(2x - 3) 2 = (2x) 2 - 2 • 2x • 3 + 32 = 4 × 2 - 12 x + 9
மீதமுள்ள தேற்றம்
(x4 - 3 × 2 + 2):(x - 3)
R = P (3) = 34 - 3 • 32 + 2 = 81 - 27 + 2 = 56
மோனோமியல்களின் பெருக்கல்
axn bxm = (a b) xn + m
(5x²y³z) (2y²z²) = (2 · 5) x²y3 + 2z1 + 2 = 10x²y5z³
4x · (3x²y) = 12x³y
மோனோமியல்களின் பிரிவு
8 a / 2 a = (8/2). (A / a) = 4
15 ay / 3a = (15/3) (ay) / a = 5 மற்றும்
12 bxy / -2 bxy = (12 / -2) (bxy) / (bxy.) = -6
-6 v2. c. x / -3vc = (-6 / -3) (v2.c. x) / (v. c) = 2 v
மோனோமியல்களின் சேர்த்தல் மற்றும் கழித்தல்
உடற்பயிற்சி: 3 × 3 - 4x + 5 - 2 + 2 × 3 + 2 × 2
தீர்வு: 3 × 3 - 4x + 5 - 2 + 2 × 3 + 2 × 2 = 3 × 3 + 2 × 3 + 2 × 2 - 4x + 5 -2 = 5 × 3 + 2 × 2 - 4x + 3
